뫼비우스의 띠!!

또, 뫼비우스의 띠의 폭을 3등분하여 평행한 두 줄로 자르면 두 개의 띠로 분리되는데, 하나는 동일한 길이의 뫼비우스의 띠가 되고, 다른 하나는 두 배로 긴, 두 번 꼬인 띠가 된다.

뫼비우스 띠의 가운데를 자를 때, 몇 번 꼬아 만든 띠인지에 따라 잘린 모양이 다르다. 일반적으로 n번 꼬는 경우를 생각해 보자. n=1인 경우는 한 번 꼬는 것이므로 우리가 알고 있는 뫼비우스 띠로 가운데를 따라 자르면 4번 꼬인 하나의 띠가 된다. 일반적으로 n번 꼬아서 만든 띠의 경우 2n+2번 꼬인 하나의 띠가 된다. 그리고 짝수 번 꼬아 만든 띠를 자른 경우에는 단순히 꼬이기만 한 폐곡선 모양이지만, 홀수 번 꼬아 만든 띠를 자른 경우에는 단순히 꼬인 폐곡선 모양이든지 오른쪽 그림과 같이 돌돌 감긴 폐곡선 모양이 된다.

뫼비우스 띠는 꼬는 방향에 따라 다르다

뫼비우스 띠의 또 다른 흥미로운 사실은 유클리드 공간에서 어느 쪽으로 꼬느냐에 따라 두 종류의 뫼비우스 띠가 존재한다는 것이다. 그래서 뫼비우스 띠는 실제상과 거울상이 겹치지 않는 구조이다. 이해하기 힘들겠지만 간단한 실험으로 꼬는 방향에 따라 서로 다른 결과가 나오는 것을 다음과 같이 두 가지 경우로 확인해 보자.

     ① 같은 방향으로 꼬아서 만든 뫼비우스 띠 두 개      
     ② 서로 반대 방향으로 꼬아서 만든 뫼비우스 띠 두 개

②에서 서로 반대 방향이란, 이를테면 한 개는 위로 꼬고, 다른 하나는 아래로 꼬아서 만드는 것이다. ①과 ②에서 준비한 뫼비우스 띠의 가운데에 선을 긋고, 그 줄이 서로 수직이 되게 붙인다. 그리고 두 개의 띠를 아래 그림에서와 같이 가운데에 그린 선을 따라 자른다. 그러면 ①의 경우는 꼬인 상태가 다른 두 개의 띠로 분리되는 반면, ②의 경우는 아래 그림과 같이 마치 영원한 사랑의 맹세를 하는 것과 같이 서로 결합된 두 개의 하트가 된다.